5.5.1两角差的余弦公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角差的余弦公式 01. 02. 应用两角差的余弦公式 目录 两角差的余弦公式 学习目标 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值与计算. 3．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式. 4．会用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． Topic. 01 01 情景导入 情景导入 在研究三角函数时,我们还常常遇到这样的问题:已知任意角α,β的三角函数值,如何求α+β,α-β或 2α的三角函数值? 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换． Topic. 02 02 两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 补充知识：两点的距离公式 x y 0 平面上任取两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) P1P2两点间距离公式 两角差的余弦公式 探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系 两角差的余弦公式 不妨令kπ＋β，k∈Z． 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点A（１，０），以轴非负半轴为始边作角α，β，α-β， 它们的终边分别与单位圆相交于点（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))． 连接，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点 重合．根据圆的旋转对称性可知， 与重合，从而， 所以AP＝ O x y P1 A1 A P 角β终边 角α终边 α-β α-β 角α-β终边 两角差的余弦公式 根据两点间的距离公式，得 +=+， 化简得: =+ 当kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有 （Ｃ（α－β）） 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系， 称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β). 公式要诀：“余余正正符号反” Topic. 03 03 两角差的余弦公式应用 应用 1. 利用公式证明： （１）= （２）= ． 证明: (1)= + =0＋1× =． (2)== + =(-1)×． ＝－ ． 2. 计算：(1)cos(-15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°. 给角求值 =0 应用 给值求值 3. 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值． 解：由，∈(,),得 又由，是第三象限角，得． 所以=+ =() ×()+() ×()= 应用 4.已知，求的值 给值求值 应用 给值求角 应用 Topic. 04 04 课堂小结 课堂小结 总结： 1.两角差的余弦公式 。 2.应用两角差的余弦公式。 感谢观看 5.已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值． 解：∵α，β均为锐角， ∴sinα＝，sinβ＝， ∴cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝＝. 又sinα＜sinβ， ∴0<α<β<，∴－＜α－β＜0， 故α－β＝－. $$