第二十六章 反比例函数 复习讲义 2022-2023学年人教版九年级数学下册

第二十六章反比例函数复习讲义人教版数学九年级下册 本章知识结构图 本章专题归纳 常考专题整合 常考专题一 反比例函数对称性的妙用 1.确定点的坐标 例1.如图，直线y=ax与双曲线y=的图象的一个交点坐标为（3，6）．则它们的另一个交点坐标是（　　） A． （﹣6，﹣3） B． （﹣3，6） C． （﹣3，﹣6） D． （3，﹣6） 解析： 反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．∵直线y=ax与双曲线y=的图象的一个交点坐标为（3，6）， ∴另一个交点坐标的坐标为（﹣3，﹣6）． 答案：C 思维点拨： 本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 2.判断形状 例2.如图，直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转a度角（0°＜a≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是　 　． 解析： 由于直线l与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得OA=OC，OB=OD，由此即可判定四边形ABCD一定是平行四边形． ∵直线l与双曲线是关于原点的中心对称图形， 而AC，BD是四边形ABCD的对角线， 根据对称性可得：OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD的对角线互相平分， 故四边形ABCD的形状一定是平行四边形． 答案：平行四边形 思维点拨： 此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用． 3.用于求值 例3. 已知点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是（　　） A． ﹣10 B． ﹣8 C． 6 D． 4 解析：先根据A、B两点关于y轴对称用m、n表示出点B的坐标，再根据点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上得出mn与m+n的值，代入代数式进行计算即可． ∵点A的坐标为（m，n），A、B两点关于y轴对称， ∴B（﹣m，n）， ∵点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上， ∴n=﹣，﹣m﹣4=n，即mn=﹣2，m+n=﹣4， ∴原式===﹣10． 答案：A 思维点拨：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 4.求面积 例4.如图，如果函数y=﹣x与y=﹣的图象交于A，B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，求△ABC的面积． 分析：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S△ABC=2S△AOC=2×|k|． 解：依题意有S△ABC=2S△AOC=2×|k|，所以△ABC的面积S=2××4=4． 思维点拨：主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了“数形结合”的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 常考专题二 反比例函数的图象及性质 1.反比例函数图象上点的坐标特征 例5. 已知点A（a+1，a﹣1）在双曲线y=上，则点A的坐标是（　　） A．（3，1）B．（3，1）或（﹣1，﹣3）C．（1，3）或（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）或（﹣1，﹣3） 解析： 将点A的坐标代入双曲线方程，列出关于a的方程，通过解方程求得a值即可． ∵点A（a+1，a﹣1）在双曲线y=上， ∴点A（a+1，a﹣1）满足双曲线方程y=，∴a﹣1=，解得，a=±2； ∴点A的坐标为（3，1）或（﹣1，﹣3）， 答案：B 思维点拨： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的所有点的坐标，均满足该函数的解析式． 2.由反比例函数的图象及性质确定解析式 例6.如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 解析： 如图，过点A作AC⊥x轴于点C，构建矩形ABOC，根据反比例函数函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC的面积． 如图，过点A作AC⊥x轴于点C．则四边形ABOC是矩形，∴S△ABO=S△AOC=1， ∴|k|=S矩形ABCO=S△ABO+S△AOC=2，∴k=2或k=﹣2． 又∵函数图象位于第一象限，∴k＞0，∴k=2．则反比函数解析式为． 答案：C 思维点拨： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高