空间向量与立体几何之二面角（一）

空间向量与立体几何之二面角（一） 题型一、柱体的二面角 1．如图，三棱柱中，. （1）求证：为等腰三角形； （2）若平面平面，且，求二面角的正弦值. 2．如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足. （1）求证：； （2）求点的距离； （3）求二面角的平面角的余弦值. 3．直三棱柱中，，为的中点，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 1．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，. (1)求证：平面平面； (2)若是棱的中点，求二面角的余弦值. 2．如图，在正方体中，为与的交点. (1)求证：平面平面； (2)设，求二面角的余弦值. 3． 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，为直角，. (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 题型二、锥体的二面角 1．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点. (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 2． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点. (1)证明：平面BMN∥平面PCD； (2)若，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是矩形，平面平面，且分别是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 1．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，. (1)证明：平面平面ABCD； (2)若，，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 2．如图所示四棱锥平面为线段上的一点，且,连接并延长交于. (Ⅰ)若为的中点，求证：平面平面； (Ⅱ)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； 4．如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形. (1)求证：； (2)若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值. 题型三、折叠型立体图形的二面角 1．在图1中，和都是直角三角形，，，.将沿折起，使得，如图2. (1)证明：平面平面； (2)若、分别为、的中点，求二面角的大小. 2．如图①，在梯形中，，，，，梯形的高为1，M为AD的中点，以BM为折痕将△ABM折起，使点A到达点N的位置，且平面NBM⊥平面BCDM，连接NC，ND，如图②. (1)证明：平面NMC⊥平面NCD； (2)求图②中平面NBM与平面NCD夹角的余弦值. 3．如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结． (1)证明：平面； (2)在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值． 1．如图所示，菱形的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.    (1)证明：： (2)若，，，求二面角的大小 2．如图，等腰直角的斜边为直角的直角边，是的中点，在上，将三角形沿翻折，分别连接、、，使得平面平面.已知，. (1)证明： (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 1． 如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. (1)当平面时，求实数的值； (2)当平面平面时，求平面与平面的夹角的正弦值. 2．如图，正方体的棱长为2，点，分别在棱，上运动，且. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积的最大值： (3)当，分别是棱，的中点时，求平面与平面的夹角的正弦值. 3．如图，长方体的底面是正方形，，点是棱的中点，请用空间向量知识解答下列问题： (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 4．如图，在三棱锥中，，，，.设分别为棱的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 5．如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．   (1)证明：平面平面． (2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值． 6．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，△是边长为2的正三角形，，. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角的余弦值. $$空间向量与立体几何之二面角（一） 题型一、柱体的二面角 1．如图，三棱柱中，. （1）求证：为等腰三角形； （2）若平面平面，且，求二面角的正弦值. 【答案】解：（1）设中点为，连接，又设，则， 又因为，所以，又因为，所以面，所以， 又因为为中线，所以为等腰三角形； （2）设以中点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，则，故，设面的法向量， 则有，同理得：面的法向量， 设所求二面角为，则，故. 2．如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱