26.2实际问题与反比例函数讲义2022-2023学年人教版九年级数学下册

26.2实际问题与反比例函数讲义人教版九年级数学下册 层级要求： 掌握 ③建立函数模型解决实际问题的方法 理解 ②函数模型是刻画现实世界变化规律的重要数学模型 知道 ①反比例函数与现实生活中实际问题的关系 基础知识详解 知识点 建立反比例函数解析式解决实际问题 内容 叙述 利用反比例函数解决实际问题要建立数学模型，即把实际问题转化为反比例函数问题，利用题中存在的公式、隐含的规律等相等关系确定函数解析式，再利用函数的图象及性质去研究解决问题。 建立反比例函数解析式的两种方法：待定系数法，列方程法。 用反比例函数解决实际问题的常见思路：（1）通过问题提供的信息，明确变量间的函数关系，在此条件下可设出函数解析式，再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。(2)已知反比例函数的解析式，然后用函数的图象及性质解决问题。 知识 详解 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 确定变量间的函数关系，设出含待定系数的函数解析式 审 建立适当的平面直角坐标系 建 把实际问题转化的一些数据与点的坐标联系起来 联 由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 列 写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围 写 利用反比例函数的图象及其性质去分析解决实际问题 解 特别 提醒 反比例函数的应用须注意以下几点：（1）反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。（2）针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。（3）列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。在实际问题中，自变量的取值范围往往会受到实际条件的限制，函数图象通常在第一象限，有时会是第一象限中的一部分。（4）要注意函数最值（取值范围）受自变量取值大小的影响。（5）两坐标轴上的单位长度一定要根据实际问题来确定，而且两坐标轴上的单位长度可以不一致。 出题角度1 建立反比例函数模型解决实际问题 例1.某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出这个函数的解析式； （2）当容器内的气体体积是0.6立方米时，此时容器内的气压是多少千帕？ （3）当容器内的气压大于240千帕时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少立方米？ 分析： （1）设出反比例函数式，根据图象给出的A点确定函数式； （2）把V=0.6代入函数式，求出P的值即可； （3）因为当气球内的气压大于240千帕时，气球将爆炸，可列出不等式求解． 解：（1）设这个函数的表达式为p=．根据图象，得60=．解得k=120．则p=； （2）当V=0.6米3时，p==200（千帕）； （3）由当p≤240千帕时，得≤240，解得V≥． 所以为了安全起见，即气球的体积应不小于米3． 思维点拨： 解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用函数关系式解题． 针对训练1. 党的十八大报告首次提出“推进绿色发展、循环发展、低碳发展”和“建设美丽中国”，保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2014年1月的利润为300万元．设2014年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，由于排污超标，该从2014年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到6月，y与x成反比例，到6月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加25万元（如图）． （1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式． （2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润能达到300万元？ （3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 出题角度2 利用反比例函数解决实际问题 例2. 去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待．经调查发现，同学的舒适度指数y与等待时间x（分）之间存在如下的关系：y=，求： （1）若等待时间x=5分钟时，求舒适度y的值； （2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适．函数y=的图象如图（x＞0），请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？ 分析：函数关系式y=中，y代表舒适度指数，x（分）代表等待时间． （1）是已知x=5，代入函数解析式求得y． （2）是已知y≥10