第30讲 数列求和（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第30讲 数列求和（精讲） 题型目录一览 ①裂项相消法 ②错位相减法 ③分组（并项）求和法 ④倒序相加法 ⑤数列求和的其他方法 一、知识点梳理 一、公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【常用结论】 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） ④三角型 （1） （2） （3） ⑤阶乘 （1） 二、题型分类精讲 题型一 裂项相消法 策略方法 （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【典例1】正项的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证． 【典例2】已知数列的各项均为正数，其前项和满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·海南·校联考模拟预测）设数列的通项公式为，数列的前项和为，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列，四边形数组成数列，记，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江西南昌·统考三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·广东广州·统考一模）若数列满足，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）数列满足，其前项和为若恒成立，则的最小值为 ． 8．（2023·全国·高三专题练习）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和 ． 9．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，则的前n项和 ． 10．（2023·全国·高三专题练习）数列中，且，则 . 三、解答题 11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 12．（2023·河北张家口·统考三模）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 14．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求证：． 15．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前项和. 16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和