专题01 空间向量及其运算压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量及其运算压轴题 （学生版） 1．空间向量 （1）定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量． （2）长度：空间向量的 叫做空间向量的长度或 ． 2．几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为 的向量叫做单位向量 相反向量 与长度 而方向 的向量叫做的相反向量，记为 共线向量或平行向量 若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量； 规定：零向量与任意向量 ．即对任意向量，都有 相等向量 方向 且模 的向量 3．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘运算 当时， 当时， 当时， 运算律 交换律 结合律 ， 分配律 4．空间向量的夹角 图示 定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则 叫做向量，的夹角，记作 范围 通常规定： ； 当 时，与垂直，记作 5．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则 叫做，的数量积，记作．即 ． 【微提醒】零向量与任意向量的数量积为0． （2）运算律 数乘向量与数量积的结合律 （λ）·＝λ（·），λ∈R 交换律 ·＝· 分配律 ·（＋）＝·＋· 6．空间向量共面的充要条件 （1）共面向量：平行于 的向量，叫做共面向量． （2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在 的有序实数对，使 ． 题型一 空间向量的有关概念 例（1）下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 （2）下列命题中是真命题的是(　　) A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则 练习题 （1）在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（    ） A．一个球 B．一个圆 C．半圆 D．一个点 （2）．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，由，则； ④在向量的数量积运算中. 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 (3).（多选题）下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．若，则 C．若，满足，且，同向，则 D．对于任意向量，，必有 题型二 空间向量的线性运算 例2.（1）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． (2)．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． (3)在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 练习题 (1).如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． (2).如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． (3).已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（   ） A． B． C． D． (4).在空间四边形中，点在上，点在上，且，则向量等于（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的共线、共面 例3.(1)已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 (2)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． (3).在四面体中，在面ABC内，在面BCD内，且满足，，若（，均不为0），则下面有关线段AQ与DP的关系的表述中，正确的