重要几何模型12-2 截长补短-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十二章 重要几何模型2 截长补短模型 1 截长 定义：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段； 示例剖析 在线段上截取 2 补短 定义：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得。 【题型1】 基本模型 【典题1】如图所示，在正方形ABCD中，E是CD上的任意一点，以AE为一边作∠EAF＝45°，射线AF交BC于F点，连接EF，求证：EF＝DE+BF． 【巩固练习】 1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．求证：AB+BD＝AC． 2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：BC＝AB+DC． 3.如图在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点．连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 4.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． (1)若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； (2)连CE，求证：BE＝AE+CE． 【题型2】 模型综合练习 【典题1】(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　； (2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以65海里/小时的速度前进，前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【巩固练习】 1.已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O． （1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系； （2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数； （3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明． 2.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． 3.如图，△ABC是等边三角形、△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN． (1)探究线段BM、MN、NC之间的数量关系，并证明； (2)若点M、N分别是AB，CA延长线上的点，其他条件不变，请作出图形，再探究线段BM，MN，NC之间的数量关系．(不要求证明) 1.如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度数是　 　． 2.如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD，求证：CD⊥AC． 3. 如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N为AB、AD上的两个动点，且∠MCN＝75°．求证：MN＝BM+DN． 4.如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E．求证：AB+AC＝2AE． 5.[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． [应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． (1)若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补