1.4.1充分条件与必要条件 导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

14.1充分条件与必要条件导学案 一、学习目标 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充 要条件的关系 二、活动方案 活动一、理解充分条件、必要条件的概念 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命 题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命 题可以写成“若p,则q”“如果p,那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q 称为命题的结论.下面我们将进一步考察“若p,则q”形式的命题中p和q的关 系，学习数学中的三个常用的逻辑用语一一充分条件、必要条件和充要条件. 思考1 下列“若P,则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形： (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等： (3)若x2-4x+3=0,则x=1: (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线/，则ab. 小结： 命题 真假 “若p,则g”是真命题 “若p,则q"是假命题 推出 由p可以推出q,记为：p 由p不能推出q,记为：pD 关系 →q →/q 条件 p是q的充分条件 p不是q的充分条件 关系 q是p的必要条件 q不是p的必要条件 思考2在思考1中，哪些命题中的p是g的充分条件？ 思考3在思考1中，哪些命题中的q是p的必要条件？ 小结： 1.p→q的含义 (1)“若p,则q”形式的命题为真命题 (2)由条件p可以得到结论q. (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p:q是p的必要条件或p的必要 条件是q. (4)只要有条件p,就一定有结论q,即p对于q是充分的，q对于p的成 立是必要的 (5)为得到结论q,具备条件p就可以推出. 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系， 即p≠q,只是说法不同而已 2.对充分条件概念的理解 “若p,则g"为假命题时，p推不出q,q不是p的必要条件，P也不是q 的充分条件 3.对充分条件的理解 (1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够 的，条件是足以保证的.“有之必成立，无之未必不成立” (2)充分条件不是唯一的，如X>2,X>3等都是X>0的充分条件 必要条件不是唯一的，如X>0,X>5等都是X>9的必要条件 例1 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形： (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似： (3)若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直： (4)若x2=1,则X=1: (5)若a=b,则ac=bc; (6)若X,y为无理数，则Xy为无理数. 思考4例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四 边形的两组对角分别相等”，这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再 给出几个不同的充分条件吗？ 跟踪训练 下列所给的各组p,q中，p是q的充分条件的有哪些？ (1)p:x=2,q:x2-X-2=0: (2)P:四边形的对角线相等，q:四边形是正方形： (3)p:同位角相等，q:两条直线平行： (4)p:四边形是平行四边形，q:四边形的对角线互相平分. 例2 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等： (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例： (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形： (4)若x=1,则x2=1: (5)若ac=bc,则a=b; (6)若Xy为无理数，则X,y为无理数 思考5例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这 个四边形的两组对角分别相等”这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你 能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？ 跟踪训练 下列所给的各组p,q中，p是q的必要条件的有哪些？ (1)p:|x|=1,q:x=1; (2)p:两个直角三角形全等，q:两个直角三角形的斜边相等： (3)p:同位角相等，q:两条直线平行： (4)p:四边形是平行四边形，q:四边形的对角线互相平分， 活动二、理解充要条件的概念 思考6下列“若p,则q"形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命 题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全 等 (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等： (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0: (4)若AUB=0,则A与B均是空集. 小结： 充分条件与必要条件： 如