第02讲 指数函数（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第02讲 指数函数 知识点1：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 知识点2：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点3：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点4：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 【题型1指数函数的判断】 【典例1】下列函数中，是指数函数的个数是（　　） ①y＝（﹣8）x； ②y＝2； ③y＝ax； ④y＝2•3x． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】下列函数不是指数函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝3﹣x C．y＝4x D．y＝23x 【变式1-2】下列各函数中，是指数函数的是（　　） A．y＝（﹣3）x B．y＝﹣3x C．y＝3x﹣1 D．y＝（）x 【题型2 指数函数的解析式与函数值】 【典例2】若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 　 ． 【变式2-1】指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）图像经过点（3，27），则f（2）＝（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2-2】函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点，则f（﹣2）＝（　　） A． B． C． D．9 【题型3 指数函数的值域与定义域】 【典例3】若函数y＝（m2﹣2m﹣2）⋅mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D． 【变式3-1】若函数y＝（m2﹣m﹣1）•mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D． 【变式3-2】函数y＝（a2﹣4a+4）ax是指数函数，则a的值是（　　） A．4 B．1或3 C．3 D．1 【变式3-3】若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（　　） A．a＞0且a≠1 B．a≥0且a≠1 C．a＞且a≠1 D．a 【典例4】函数的值域是 　 　． 【变式4】函数的值域是　　． 【题型4 指数型函数图象过定点问题】 【典例5】（2022·全国·高一）指数函数恒过的定点为_______． 【变式5-1】下列各点中，在函数f（x）＝2x﹣1的图象上的点是（　　） A．（0，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2） 【变式5-2】（全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________. 【变式5-3】（上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________． 【题型5 比较大小】 【典例6】已知a＝0.