第01讲 指数运算（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第01讲 指数运算 知识点1：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点2：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点3：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点4：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点5：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【题型1根式的概念及意义求参】 【典例1】＝（　　） A．π﹣4 B．π﹣3 C．π﹣2 D．π﹣1 【变式1-1】的值为（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【变式1-2】的值为（　　） A．2﹣π B．π﹣6 C．6﹣π D．π﹣2 【典例2】（上海高一专题练习）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（ ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【变式2-1】（2022·江苏·高一）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022·全国高一专题练习）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】若 +＝2，则a的取值范围为　　 ． 【题型2 根式的形式化简】 【典例3】若x＜3，则﹣|x﹣6|的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 【变式3-1】（全国高一专题练习）当有意义时，化简的结果是________． 【变式3-2】（2022·青海西宁·高一期末）若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【变式3-3】（上海高一专题练习）求下列各式的值. （1） （2）； （3） （4）. 【题型3 根式与分数指数幂的互化】 【典例4】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）： (1) (2)． 【变式4-1】的分数指数幂表示为（　　） A． B． C． D．都不对 【变式4-2】可化为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知a＞0，则化为（　　） A． B． C． D． 【题型4 分数指数幂的运算性质化简求值】 【典例5】完成下列式子的化简： （Ⅰ） ； （Ⅱ） ． 【变式5-1】（1）化简： （2）计算： 【变式5-2】（1）化简：； （2）计算．． 【题型5 整体代换法求分数指数幂】 【典例6】若x+x﹣1＝4，求下列各式的值 （1）； （2）． 【变式6-1】已知正实数a满足a+a﹣1＝4，求下列各式的值； （1）； （2）a2+a﹣2． 【变式6-2】已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）a﹣a﹣1． 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D．x6 2．化简：＝（　　） A．0 B．2π﹣8 C．2π﹣8或0 D．8﹣2π 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．计算：＝（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 5．＝（　　） A． B． C． D． 6．下列等式一定成立的是（　　） A．＝a B．＝0 C．（a3）2＝a9 D． 7．已知a+a﹣1＝6，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．±2 8．若a＝，b＝，则a+b的值为（　　） A．1 B．5 C．﹣1 D．2π﹣5 9．已知＝4，则x等于（　　） A． B．±8 C． D． 10．化简（2a﹣3）•（﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）（a，b＞0）得（　　） A．﹣b2 B．b2 C．﹣ D． 11．若，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．R 12．计算：＝　　． 13．的值为 　　． 14．计算：+π0﹣＝　　． 15．计算：的值是　　 ． 16．使等式成立的x的取值范围是 　　 ． 17．，则实数a的取值范围 　 　．