第03讲 对数运算（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第03讲 对数运算 知识点1：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点2：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点3：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点4：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点5：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【题型1对数概念】 【典例1】对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 【变式1-1】若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．（2，3）∪（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞） 【变式1-2】若，且x＞0，则x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 指数对数的互化】 【典例2】把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式． （1）5﹣2＝； （2）8x＝30； （3）3x＝1； （4）＝﹣2； （5）x＝log610； （6）x＝ln； （7）3＝lgx． 【变式2-1】（全国高一课前预习）根据对数定义，将下列进行指对数式互化： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2-2】（全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）53=125； （2）4-2=； （3）log3=-3. 【变式2-3】将下列指数式与对数式互化： （1）ea＝16； （2）； （3）log39＝2； （4）logxy＝z（x＞0且x≠1，y＞0）． 【题型3 对数的求值】 【典例3】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（全国高一课前预习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． （1）； （2）； （3）． 【题型4 对数的运算】 【典例4】（1）计算：log225×log34×log59； （2）求满足log2[log3（log4x）]＝0的x的值． 【变式4-1】求值：lg2+lg5+10lg3﹣log23×log916． 【变式4-2】求值：log354﹣log32+log23•log34． 【变式4-3】计算：． 【题型5 换底公式】 【典例5】已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D． 【变式5-1】已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝　　（用含a，b的代数式表示）． 【变式5-2】若loga2＝m，loga3＝n，则a2m﹣n＝　　． 【变式5-3】已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝　　（用a，b表示）． 1．化简可得（　　） A．log34 B． C．3 D．4 2．已知a，b∈R，那么“3a≤3b”是“loga＞logb”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知2m＝3n＝6，则等于（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．1 4．已知集合A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|y＝log2x}，则A⋂B＝（　　） A．{x|x≥﹣1} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|x＞0} D．{x|﹣1≤x＜0} （多选）14．下列指数式与对数式互化正确的是（　　） A．e0＝1与ln1＝0 B．log24＝2与42＝2 C．与 D．31＝3与log33＝1 5．若4x＝16，则x＝　　． 6．若x•log32＝1，则2x＝　　． 7．若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为　 ． 8．若2a＝3，8b＝9，则＝　　． 9．已知正数a，b满足ba＝4，且a+log2b＝3，则a+b＝　　． 10．＝　　． 11．把下列对数式写成指数式： （1）log39＝2； （2）log5125＝3； （3