专题13 双曲线-2023年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题13 双曲线 目录一览 2023真题展现 考向一 双曲线的离心率 真题考查解读 近年真题对比 考向一 双曲线的渐近线方程 命题规律解密 名校模拟探源 易错易混速记/二级结论速记 考向一 双曲线的离心率 1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，，则C的离心率为　　． 【命题意图】 考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想． 【考查要点】 双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等． 【得分要点】 一、双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：1、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解 (1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在． (2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线． (3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小. ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 二、双曲线的方程及简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 三、双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2= = 四、直线与双曲线的位置关系 1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、 弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 （为直线斜率） 3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 考向一 双曲线的渐近线方程 2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为 　 ． 查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容， 一．双曲线的标准方程（共5小题） 1．（2023•郑州模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A．x±y＝0 B． C． D．2x±y＝0 2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是　　 ． 3．（2023•通州区模拟）双曲线的焦点坐标为（　　） A．（±1，0） B．（±，0） C．（±，0） D．（±，0） 4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（　　） A． B