四川省成都市石室中学2022-2023学年高三上学期第二次周考数学（理科）试题

成都石室中学高2023届第二次周考 数学试题 （理科） 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数（为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差．已知，估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 5．已知向量，满足，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．已知直线与双曲线有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为（    ） A．5 B． C． D． 7．已知平面平面，且平面平面，则“”是“平面”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40，满盘时直径为120，已知卫生纸的厚度为0.1，则满盘时卫生纸的总长度大约（    ）（π≈3.14，精确到1） A．60 B．80 C．100 D．120 10．在锐角三角形ABC中，，，则AB边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知，则的最小值是 14．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________． 15．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________. 16．如图，在四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为______． 三、解答题 17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若的面积为，点D在线段AC上，且，求BD的最小值． 18．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理. 19．如图，在四面体中，均为等边三角形，，点为的中点，． (1)证明：直线平面； (2)设点在上，，求二面角的余弦值． 20．已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，． (1)的标准方程； (2)设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 21．已知． (1)若关于x的方程有解，求实数a的最小值； (2)证明不等式； (3)类比（2）中不等式的证明方法，尝试证明：（，e为自然对数的底数） 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值. 23．已知函数. (1)求的最大值; (2)正实数满足，若对任意的恒成立，求的取值范围. 第4页，共4页 试卷第3页，共4页 参考答案： 1．A 【分析】先求出集合A,B,然后取交集即可. 【详解】, 则, 故选：A 2．B 【分析】化简可得z，而计算模长即可． 【详解】∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属于基础题． 3．B 【分析】已知函数的定义域，利用整体代入法求函数的定义域. 【详解】函数的定义域是， 由，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 4．C 【分析】根据正态分布的对称性，即可推出，进而得出，进而可得出答案. 【详解