23.3.4相似三角形应用----“一线三等角”相似模型 讲义 2023-2024学年华东师大版九年级数学上册

弯道超车，赢在暑假 “一线三等角”模型 【知识梳理】 一线三等角 1． 如图1，∠ACB＝∠D＝∠E＝90°且∠CAB＝45°→△ACD≌△CBE，此为：“一线三直角”全等，又 称“K字型”全等； ( A B D E C 45° ) ( A B C E D α ) ( A B C D E ) 图1 图2 图3 2． 如图2，∠ACB＝∠D＝∠E＝90°→△ACD∽△CBE，此为：“一线三直角”相似，又称：“K字型”相似； 3． 如图3，∠ACB＝∠D＝∠E→△ACD∽△CBE，此为更一般的“一线三等角”． 怎么用？ 1．找模型 在两个三角形中有一条边共线，且有三个角相等时，考虑“一线三等角”相似模型 2.用模型 确定一线三等角后，依据平角性质，三角形的内角和及内外角关系导角证得相似，再利用相似性质解题 “一线三等角”的应用分三重境界： 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1所示的“同侧型一线三等角”及图2所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重镜：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图3及图4所示； 图1 图2 图3 图4 【考点剖析】 例1.例1如图，在边长为7的等边△ABC中，点D是BC上的动点，∠MDN =60°，若BD=2，NC=4，则BM的长为（ ） A. B.2 c. D.3 例2.如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积．A B C D E 例3.已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． （1）求证：＝； （2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长． 例4.如图，在中，点、分别在边、上，连接、，且． （1）证明：； （2）若，，当点在上运动时（点不与、重合），且是等腰三角形，求此时的长． 例5.如图，直线y与双曲线y（x＞0）的交点为A，与x轴的交点为B． （1）求∠ABO的度数； （2）求AB的长； （3）已知点C为双曲线y（x＞0）上的一点，当∠AOC＝60°时，求点C的坐标． 例6.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积． 【过关检测】 1. 如图，点E是AB的中点，AC=7，BD=3，若∠A=∠CED=∠B，则AB的长为（ ） A. B. C.10 D.7 2. 如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A=∠B=∠DEC，则BC的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），AC⊥AB，AC=3，则点C的坐标为（ ） B. C. D. 4. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，沿AE折叠∆ADE，使得点D落在BC 边上的点F处，若AF=10，且 则矩形ABCD的周长为 ( ) A.36 B.28 C.20 D.16 5.如图，已知反比例函数的图像经过点A（3,4），在该图像上找一点P，使∠POA=45°，则点P的坐标为____________。5题图 7题图 6题图 6.如图，把等边△ABC沿DE翻折，使点A落在BC上的F处，给出以下结论： ①∠BDF＝∠EFC；②BD•CE＝BF•CF；③S△BDF+S△EFC；④若BF：CF＝1：2，则AD：AE＝4：5．其中正确的结论有　 　．（填序号） 7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D是边BC上一动点（不与B，C重合）， ∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且sinα．下列结论： ①△ADE∽△ACD； ②当BD＝2时，△ABD与△DCE全等； ③△DCE为直角三角形时，BD的长一定为4； ④0＜CE≤3.2． 其中正确的结论是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上） 8.已知：如图，△ABC与△ADE均为