专题3.2 双曲线-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.2 双曲线 知识点一 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 知识点二 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 知识点三 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点四 常用结论 1.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S＝b2·，其中θ为∠F1PF2. 3.直线与双曲线位置关系 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验． (3)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|. 考点01 双曲线的定义及其应用 【典例1】（2023秋·高二课时练习）相距的两地，听到炮弹爆炸的时间相差．若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 【典例2】（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）如图，小明在ABCD外的某处出发，在ABCD范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可能是（    ）    A．椭圆的一部分 B．一段圆弧 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【典例3】（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 考点02 双曲线的标准方程 【典例4】（2023秋·高二课时练习）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【典例5】（2023秋·高二课时练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例6】（2023秋·高二课时练习）在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（    ） A． B． C． D．或 【规律方法】 1．求双曲线方程的思路 (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．