重要几何模型12-1 倍长中线模型-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十二章 重要几何模型1 倍长中线模型 1 定义 即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角． 2 示例剖析 其中，延长使得，则． 其模型也属于“字型或成字型”. 【题型1】 基本型 【典题1】 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，求证：AB＝CD． (1)延长DE到F，使得EF＝DE； (2)作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F； (3)过C点作CF∥AB，交DE的延长线于F． 【典题2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论． 【巩固练习】 1如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9 2. 如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　． 3.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M．求证：MD＝ME． 4.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 5.如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AB＝2AE． 6.如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG＝BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF＝CD，连接AF，AG． （1）补全图形； （2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论； （3）F，A，G三点的位置关系如何？证明你的结论． 【题型2】 模型变式 【典题1】 已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，连接DE，DF，EF． （1）求∠ECF的度数； （2）求证：△DEF为等腰直角三角形． 【巩固练习】 1. 如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP＝DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长． 2.如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH上的中点，求证：MA⊥BC． 3.课堂上，老师出示了这样一个问题： 如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． (1)小明的想法是，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题； (2)请按照上述提示，解决下面问题： 在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF＝AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG＝CG． 1.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如下右图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD＝DE＝EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确是　 　． 3.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE． 4.如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF＝CG． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，BC平分∠EBD． (1)求证：∠ABE＝∠D；(2)求证：BD＝2BE． 6.(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 　 　； (2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第十二章 重要几何模型1 倍长中线模型 1 定义 即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角． 2 示例剖析