12.3 角平分线的性质-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 1 角平分线的尺规作图 已知： 求作：的平分线 作法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; （3）画射线，射线即为所求. (利用全等三角形可证明) 2 角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (利用全等三角形可证明) 3 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (利用全等三角形可证明) 4 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 如下图，、分别是角平分线，则由角平分线的性质可得，则由角平分线的判定可得点也在的平分线上. 点称为三角形的内心，到三角形的三边距离相等. 【题型1】 与角平分线有关的尺规作图 【典题1】 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得. (保留作图痕迹，不写作法) 【巩固练习】 1.在中， ， 点在的延长线上,的平分线交于点 . 的平分线与射线交于点。 (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线； (2)求的度数. 【题型2】 角平分线性质及其应用 【典题1】 如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝　 　cm． 【典题2】如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为(　　) A．48 B．36 C．24 D．12 【巩固练习】 1.如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝5，则PN的长度不可能是(　　) A．5 B．6 C．7 D．4 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　　) A．1 B． C．2 D． 3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为(　　) A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定 4.如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为 　 　． 5.如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 　 　cm． 6.如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 . 7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD． 【题型3】 角平分线的判定及其应用 【典题1】 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD． (1)求证：DE平分∠ADC； (2)求证：AB+CD＝AD． 【巩固练习】 1.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法： ①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上； ③点P在∠BCD的平分线上； ④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上． 其中正确的是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③ 2.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在(　　) A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 3.如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是 　 　． 4.已知，如图，A，B，C，D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线． 【A组---基础题】 1.三角形中，到三边距离相等的点是(　　) A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小