专题04一元二次方程的概念（3个知识点4种题型2个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题04一元二次方程的概念（3个知识点4种题型2个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：一元二次方程的概念 知识点2：一元二次方程的一般形式 知识点3：一元二次方程的根 【方法二】 实例探索法 题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值 题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值 题型三：一元二次方程新定义问题 题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论 【方法三】 差异对比法 易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件 易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1一元二次方程的概念 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【变式】下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3 知识点2一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【例2】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【变式1】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0 【变式2】把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 知识点3一元二次方程的根 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【例3】判断2、5、-4是不是一元二次方程的根． 【变式】已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4 【方法二】实例探索法 题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值 1.为何值时，关于的方程是一元二次方程． 2.关于的方程． （1） 当取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当取何值时，方程为一元一次方程？ 3．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值 4.已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 5.已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 6.已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 7.已知方程和有共同的解，求与的值． 题型三：一元二次方程新定义问题 8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值． 9.对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（