专题1-1 数轴中距离问题和分类讨论-【高分突破系列】2023-2024学年七年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

专题1-1 数轴中距离问题和分类讨论 1 数轴上点移动规律 数轴上点表示的数为点向右移动个单位长度后到达点点向左移动个单位长度到达点；则点表示的数为，点表示的数为； 【例】数轴上点表示数为，点点出发，沿数轴向正方向移动，速度为单位/秒，则秒后两点间的距离为，点表示的数为. 点点出发，沿数轴向负方向移动，速度为单位/秒，则秒后两点间的距离为，Q点表示的数为. 2 数轴上两点间距离 数轴上两点代表的数分别为； 当时，；当时，.简记：大数减小数. 【例】 ① 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段； ② 数轴上点表示的数为，在点右侧的点表示的数为，则线段； ③ 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段； 3 数轴上两点间中点表示的数 如图，的中点，则 则，即，即。 【例】 ① 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段中点表示的数为； ② 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段中点表示的数为. 4 绝对值 (1) 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义:在数轴上对应点到原点的距离. (2) 去绝对值等式 【例】 ；当时，；当时，； (3) 含绝对值的方程 原理：若，则 若，则 【例】 解方程 【题型1】 距离问题 【典题1】 在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足|a+5|+(b﹣3)2＝0．点P为直线AB上点B右边的一点，且AP＝3PB，点Q为PB中点，则线段AQ的长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．15 【典题2】已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数：﹣22，﹣2，8，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒． （1）填空：AB＝　 　，PA＝　 　，PC＝　 　．（可用含t的代数式表示） （2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，请用含t的代数式表示P、Q两点之间的距离． 【巩固练习】 1.如图，在数轴上从左到右依次有A，B，C三点，若AB＝1，点A表示的数为a，点C表示的数为﹣2a﹣1，则线段BC的长为(　　) A．﹣a B．﹣3a C．﹣3a﹣1 D．﹣3a﹣2 2.如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是(　　) A．﹣1 B． C．﹣1.2 D．﹣3 3.数轴上点表示的数为的绝对值，点表示的数为的相反数，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正方向匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负方向匀速运动．当运动时间为秒时，请直接写出点表示的数为____，点表示的数为________，点和点之间的距离为_______个单位长度． 4.如图，在一条不完整的数轴上从左向右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1．设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点B为原点，此时p的值为 　 　； (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，p的值为 　 　． 【题型2】 单动点的分类讨论 【典题1】(1)数轴上两点表示的数为，若该两点之间的距离为，求的值； (2)若点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，设运动时间为．若点到点的距离等于点到点的距离的倍，求值． 【巩固练习】 1.已知A，B，C是数轴上的三个点．如图所示，点A，B表示的数分别是1和5，若，则点C表示的数是(　　) A．12 B．8 C．﹣2 D．12或﹣2 2.如图，点A在数轴上，点A表示的数为﹣10，点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动经过　 秒，点M与原点O的距离为6个单位长度． 3.如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为大于秒． (1)点表示的数是　 　． (2)求当等于多少秒时，点到达点处？ (3)点表示的数是　 　(用含字母的式子表示) (4)求当等于多少秒时，之间的距离为个单位长度． 4.已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为之间的距离记为 ，请回答问题： (1)当时，　 　． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则　 　． (3)如图，点是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点之间，则　 　． ②若，则　 　． ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是？ 【题型3】 多动点的分类讨论 【典题1】 若是最小的正整数，且满足 (1)求的值； (2)在(1)的条件下，对应的数在数轴上由三点表示，点开始在数轴上运动，点不动，若点以每秒个单位长度向右运动，同时，点个单位长度的速度向左运动，