专题01 全等三角形（优质类型，10大类型）-2023-2024学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

01全等三角形 【专题过关】 类型一、倍长中线法 【解惑】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【融会贯通】 1．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．    解决此问题可以用如下方法： 延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．    2．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得 ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 3．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：________________ (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，AD是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 4．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：___________； 依据2：___________． (2)如图3，，则的取值范围是___________； (3)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 5．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 类型二、截长补短法 【解惑】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 （1）根据阅读材料，任选一种方法证明 （2）根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，探究、、