5.5.1.1两角差的余弦公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

两角差的余弦公式 招 6 2 A0 新课引入 圆具有旋转对称性 图片来源：视觉中国www.vcg.com 昵图l间wuu.nipic,com BY:lamtoshl U 新课引入 引例：假设摩天轮对应圆的半径为20，三个座舱对应A,B,C三 点，∠AOD=45°，∠BOD=30°，∠COD=15°，在计算座舱相 对于转轴的水平距离时，需要求c0s45°，c0s30°，c0s15°=？ 3 U 新课引入 探究：己知任意角α，B的正弦和余弦，能否由此推 出a+B,a-B 的余弦吗？ c终边 B终边 元 元 元 P a-B终边 12 4 6 D A0,0)x 0-B O以 B 0≠B+2kπ，k∈Z 4 U 学习新知 差角余弦公式cos(a-B) 问题1：如下图所示，能否求解各点坐标呢？ P(cos阝，sinB),A(cos(a-β)，sin(a-B),P(coso,sin), 问题2：AP与AP有什么关系？ a终边 连接A:P1,AP.若把扇形OAP绕着点O旋转 终边 3角，则点A,P分别与点A1,P,重合.根据圆的旋 a-终边 转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1, 所以AP=A1P1. 问题3：如何计算两点距离？ AL,0) 平面上任意两点P (x1,y1),P2(x2,y2) 间的距离公式P,P2= 问题4：求解AP与A月 √(x2-x1)P+(y2-y1)P. 5 K U 学习新知 4P=AP根据两点间的距离公式可得 .cos(a-B)-1+sin'(a-B)=(cosa-cos B)2+(sina-sinB) '.2-2cosa-β)=2-2(cos0cosβ+-sinasinβ) ∴.-2cos(a-β)=-2(coscoβ+sinasinβ) ∴.cos(a-β)=cosacosβ+sinsinβ 当a=2k元十(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角a,B有 cos(a-B)=cosa cos&是角) 公式的结构特征： 左边：两角差的余弦 右边：同名三角函数乘积的和 此公式给出了任意角α，的正弦、余弦与其差角一B的余弦 之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为C(a$ 6 典型例题 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B 例1.利用差角余弦公式求cos15的值 分析： c0s15=c0s(45-30) cos15=c0s(60'-45） 思考：你会求sin75的值吗？ 7 U 典型例题 :cos(a-B)=cos acos B+sin asin B 例2：利用公式证明： 0cowr-a）=smu-(2cosr-a）=-osa 证明：()cos(受-a）=cos2cosa+sin2ina 元 =0-1Xsin a =sin a. (2)cos(x-a)=cos xcos a+sin asin a =(-1)Xcos a+0=-cos a. 8 典型例题 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B 5 例3.已知 13’ B是第三象限角，求cos(a-B)的值 解：由s如a=号，a∈（受，，得 cosa=--ma=-√1-（传）=-寻 5 又由c0sB=一品B是第三象限角，得 sinB=-1-osp=-1-(-) 1 13 所以cos(a-3)=cos acos B-+sin asin B =()×(-)+×()= 3 65 9 1 巩固练习 :cos(a-B)=cos acos B+sin asin B 日知cosa? 任 的值. 解： π cosa=- 3二 一， 2 .'sin a=v1-cos2 a 4 cos年-a)=cos π π cosa +sin sin a 4 4 + 4 2 +2 5 10