3.1.1 函数的概念（8大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.1.1 函数的概念 重点：1、理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域；2、明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数； 难点：1、对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解；2、抽象函数的定义域；3、一些简单函数值域的求法. 一、函数的定义及概念概念 1、函数的定义：设A，B是两个非空数集， 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2、函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3、同一个函数 两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。 二、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 三、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 题型一 对函数的定义的理解 【例1】（2022秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）下列图象中，不是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·广东佛山·高一统考期中）某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ） A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 【变式1-2】（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）下列对应是集合到集合的函数的是（ ） A．， B．，， C．， D．， 题型二 区间的定义与表示 【例2】（2023秋·高一课时练习）下列区间与集合或相对应的是（ ）. A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·福建宁德·高一统考期末）下列集合与区间表示的集合相等的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（ ） A． B． C．或 D． 【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）已知为一确定区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三 求具体函数的定义域 【例3】（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·陕西西安·高一西安市田家炳中学校联考期末）已知函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022春·北京·高一校考期中）函数的定义域