专题05一元二次方程的解法（5个知识点6种题型4个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题05一元二次方程的解法（5个知识点6种题型4个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：开平方法解一元二次方程 知识点2：因式分解法解一元二次方程 知识点3：配方法解一元二次方程 知识点4：一元二次方程的求根公式 知识点5：用适当的方法解一元二次方程 【方法二】 实例探索法 题型1：用配方法求字母的值 题型2：用用配方法求代数式的最大（最小）值 题型3：判断三角形的形状 题型4：有关新定义问题 题型5：解系数中有字母的一元二次方程 题型6：一元二次方程的实际应用 【方法三】 差异对比法 易错点1：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错 易错点2：混淆方程配方与代数式配方 易错点:3：配方时，没有进行恒等式变形而导致错误 易错点4：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：开平方法解一元二次方程 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例1】（2022春·上海·七年级期中）解方程：． 【变式1】解关于的方程：． 【变式2】解关于的方程：． 【变式3】解关于的方程：． 【变式4】解方程： 知识点2：因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. （1） 利用提公因式法 【例2】.方程：的较小的根是（ ） A． B． C． D． 【变式】解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． （2）利用平方差公式 【例3】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【变式】解关于的一元二次方程：． （3）利用完全平方公式 【例4】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； （4） 十字相乘法因式分解 【例5】用合适的方法解下列关于的方程： （1）； （2）； 【变式】解关于的方程 （1）； （2）． 知识点3：配方法解一元二次方程 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【例6】用配方法解一元二次方程. 【例7】如何用配方法解方程 知识点4：一元二次方程的求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式． 用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 【例8】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式2】用公式法解方程：． 知识点5：用适当的方法解一元二次方程 【例9】解关于的方程（合适的方法 ）： （1）； （2）． 【变式】用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）；