第三章 2 圆的对称性&3 垂径定理-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测重点知识锦囊（北师大版）

第三章圆 2圆的对称性 *3垂径定理 新知鉴，脉络梳理训 里变点 细织点⑨圆的对称性 一归纳总结1 归纳总结① 1.圆的轴对称性 因为对称轴是直线。所以直径不 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过工 是圆的对称轴，但可以说“任意一条直 的直线。 径所在的直线是圆的对称轴” 2.圆的中心对称性 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 3.圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原 来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，② 是对称中心 知限息②圆心角，弧、弦之间的关系 一归钠总结2 )归纳总结2 1.圆心角 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个 顶，点在☒ 的角叫做圆心角。 前提条件，如果去掉这个前提条件，即 使圆心角相等，圆心角所对的孤、孩也 2.圆心角及其所对的弧、弦的关系 不一定相等.如图，∠AOB=∠COD,但 名称 文字语言 符号语言 图示 AB≠CD,AB≠CD: 在同圆或等圆中，相 等的圆心角所对的 ∠AOB=∠COD→ 定理 ④ 相等，所 rAB=⑦ 对的固 也 LAB=CD C 相等 (2)由于弦所对的旅有两茶，所以不能 在同圆或等圆中，如 说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的 果两条弧相等，那么 MB=CD→ 泰相等” 它们所对的⑥ 「∠AOB=∠COD. 相等，所对的 LAB =CD 拓展 ☑ 也相等 在同圆或等圆中，如 果两条弦相等，那么 AB=CD→ 它们所对的图 ,∠AOB=∠COD. 相等，所对的 AB=C⑦. 可 和面 LADB CBD 分别相等 规律 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 总结 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 见此图标弱抖音/微龙招码领取配套资源稳步提升成绩 03 ①九年级数学·北师版（下册） 知调盒③垂径定理及其推论 归纳总结3 )归纳总结3 垂直于弦的直径回 这条弦，并且回 在一个圆中，一条直线只要满足下列 文字表述 五个条件中的任意两个，那么它一定 弦所对的弧 具各其他三个（筒称“知二推三”）： 理 如图，已知CD是⊙O的直径，CD⊥弦AB,垂足为点M, 符号语言 ①经过圃心：②重直于弦：③平分弦 则AM=BM.AC=BC,AD=BD (非直径)：④平分弦所对的优张：⑤平 C 分弦所对的劣环 金 D 平分弦（不是3 )的直径垂直于弦，并且平分 文字表述 弦所对的弧 提 如图，已知CD是⊙O的直径，AB为弦，AM=BM,则CD 符号语言 ⊥AB.AC=C,AD=BD (1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质 是“过圆心”： 展延 (2)作不平行的两条弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点 就是圆心： (3)垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立 答案 四圆心回圆心☒圆心④弧固弦回圆心角 园弦图圆心角回优弧四劣弧团平分回平分 B直径 题型社，实例探索川 理要点 愿圆①弧、弦、圆心角之间的关系的应用 )规律方法 令典例 典例如图，AB,CD是⊙O的直径，弦CE∥ 先结合图形理解题意，再结合等 腰三角形，平行线的性质以及三角形 AB,CE所对的圆心角的度数为40°，求 的内角和定理解决问题 ∠AOC的度数. 【解】连接OE,如图. :CE所对的圆心角的度数为40°， D ∴.∠C0E=40° ,OC=OE,∴.∠OCE=∠OEC. O 5∠0cB=7x(1802-40)=70 CE∥AB,∴.∠AOC=∠OCE=70. 见此图桥国酮并亭/微信扫码领取配套资源稳步提升成馈 第三章圆上 题属②垂径定理的应用 )规律方法 ◆典例2 典例2如图，已知⊙0的半径为5，弦AB的长 (1)用垂径定理解决有关圆的问意时， 通常要将问题转化到直角三角形中 为8，P是AB延长线上一点，BP=2,则OP 解决： () (2)如果图中没有直角三角形，可以构 A.22 B.32 C.25 D.35 造直角三角形.构造方法如下： 【解析】如图，过点O作OC⊥AB于点C, 则∠0P=LAC0=0°.4C=BC=4B=4 ,BP=2,∴，PC=BC+BP=6 在R1△ACO中，由勾股定理， 连半径 作弦AB的重线， 得0C=√0A-AC=√5-4=3. 且连半径 在Rt△PC0中，由勾股定理， 得0P=PC2+0C=√6+32=35. 【答案】D 愿国③垂径定理在实际问题中的应用 )解题技巧 令负例3 典例3如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB= 本题考查了金径定理的实际应 用，注意掌握辅助线的作法，以及数形 40m,桥拱到水面的最大高度为16m 结合恩想和方程思想的应用. (1)求桥拱的半径： (2)现有一艘轮船，船宽20m,船舱顶部为长方形并高出 水面11m,这艘轮船能顺利通过这座桥吗？ A B 【解】(1)如图①，设点E是拱桥所在