3.2.1双曲线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握双曲线的定义及其标准方程的推导过程。 2. 运用解析法（坐标法）研究双曲线的标准方程，并能利用其解决相关问题。 3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 椭圆的概念及其标准方程 定义：我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 椭圆的标准方程：①焦点在：1 (0). ②焦点在：1 (0). 二、新课讲授 1、双曲线 问题1 我们知道了椭圆的定义，那平面内与两定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？ 双曲线 问题2 你能类比椭圆的定义给出双曲线的定义吗？ 定义：一般地，我们把平面内与两个定点, 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于||）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间距离叫做双曲线的焦距. 追问1 “差的绝对值”把“绝对值”去掉可以吗，此时的轨迹是什么？ 分析：当平面内与两个定点, 的距离的差等于非零常数（小于||）时，点的轨迹是双曲线的一支. 差是大于0的常数时，轨迹是双曲线右支 差是小于0的常数时，轨迹是双曲线左支 追问2 “小于||”改为“等于||” 可以吗，此时的轨迹是什么？改为“大于”呢？ 分析：“等于||”时轨迹是一条射线；“大于||”时，轨迹不存在. 追问3 “非零常数”去掉“非零” 可以吗？ 分析：当平面内与两个定点, 的距离的差等于0时，点的轨迹是线段的中垂线. 2、双曲线的标准方程 问题3 你能类比椭圆标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程？ 建系→设点→列式→化简→检验 建系：以经过双曲线两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系. 1、建立适当的坐标系，用有序数对（）表示曲线上的任意一点的坐标； 2、写出合适条件的点的集合是建立曲线方程的依据； 3、用坐标表示条件，列出方程0，这是建立曲线方程是关键； 4、将方程0化为最简形式，以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，反之也成立. 问题4 如何用坐标表示双曲线上的点所满足的条件？ 分析：由双曲线的定义可知，双曲线可看作点集： 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么焦点, 的坐标分别为， . 由有 类比椭圆，化简得 () 上式同除以得到1(0). 令 ， 则上式变形为 ， 因为方程 变形到1 (0)的过程中都是同解变形，所以双曲线上任意一点的坐标都满足该方程；反之，以方程1 (0)的解为坐标的点都在双曲线上. 我们称方程1 (0)是双曲线的标准方程，它表示焦点在轴上，两焦点分别是 ， 的双曲线，这里 . 追问1 1 (0)是双曲线的标准方程吗？ 分析：1 (0)是双曲线的标准方程，它表示焦点在轴上，两焦点分别是 ， 的双曲线. 双曲线的标准方程：①焦点在： 1 (0). ②焦点在： 1 (0). 三、巩固新知 例1 设双曲线的两个焦点坐标分别为 ， ，双曲线上一点与 ，的距离差的绝对值等于6 ，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为1 (0). 由10， 6，得5， 3， 则 9=16. 所求双曲线的标准方程为 1. 例2 已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解：如图所示，建立直角坐标系, 使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合. 由题意可知， ，所以，点轨迹是以为焦点的双曲线的右支. 所以=680，则=340， ²=115600， =800，则=400，则 =44400， 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为 1（ ≥340）. 四、课堂小结 1、双曲线的概念及其标准方程 五、作业布置 课本P121：练习 第3、4题 椭圆及其标准方程 双曲线及其标准方程 0， 0， 焦点在1 (0) 焦点在1 (0) 焦点在1 (0) 焦点在 1 (0) 15 $$