23.1 锐角的三角函数（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（沪科版）

第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第1课时 正切 优翼数学教学课件（HK）九上 智者乐水，仁者乐山 图片欣赏 导入新课 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ A B C D E F 倾斜角越大— —梯子越陡 正切的定义 新课讲授 乙 问题2:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平长度越小，梯子越陡 当水平长度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲 问题3:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平长度的比相等时，梯子一样陡. 3 m 6 m D E F C 2 m B 4 m A 问题4:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 3 m 2 m 6 m 5 m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离 B1C1 ，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A C1 C2 B2 B1 合作探究2 两个直角三角形相似 (1) Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系? (3)如果改变 B2 在梯子上的位置(如B3C3)呢? 思考：由此你得出什么结论? A B1 C2 C1 B2 C3 B3 想一想 相等 相似三角形的对应边相等 在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎么变化，∠A 的对边与邻边的比值总是一个固定值.我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tan A，即 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tan A = 归纳总结 结论：tan A 的值越大，梯子越陡. 定义中的几点说明： 1. 初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A 是一个锐角. 2. tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切.但∠BAC的正切表示为: tan∠BAC.∠1 的正切表示为: tan∠1. 3. tan A＞0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4. tan A 不表示“ tan”乘以“A ”. 5. tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？可以大于 1 吗？ A B C ┌ 解：可以等于 1，此时为等腰直角三角形；也可以大于 1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 解:甲梯中， β 6 m ┐ 乙 8 m α 5 m ┌ 甲 13 m 乙梯中， ∵tan β＞tan α，∴乙梯更陡. 提示:在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 典例精析 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 7，BC = 5，则 tan A=______，tan B =______． 练一练 互余两锐角的正切值互为倒数. 2.下图中∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D.指出∠A 和∠B 的对边、邻边. A B C D (1) tan A = = AC ( ) CD ( ) (2) tan B = = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 4.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，tan A 的值（ ） A.扩大 100 倍 B.缩小 100 倍 C.不变 D.不能确定 A B C ┌ C 3.已知∠A，∠B为锐角， (1)若∠A =∠B，则 tan A tan B； (2)若 tan A = tan B，则∠A ∠B. = = 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度、坡角 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高60 m，那么山坡的坡度 i (即 tan α)就是: 坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角； 坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平长度的比称为坡度 i (或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 100 m 60 m ┌ α i 概念学习 例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡 AB 的坡度 i＝1 : 3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(　　) 解析：∵∠ACB