21.6 综合与实践 获取最大利润（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 21.6 综合与实践 获取最大利润 优翼数学教学课件（HK）九上 情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家，追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 导入新课 一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、建造厂房、购置设备、培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用. 例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表示为 . C = 120t + 1000 ① 如何定价利润最大 新课讲授 其中 C 表示生产 t 台收音机的总成本，当 t = 0 时， C = 120t + 1000 ① C = 120×0 + 1000 = 1000. 1000 元是固定成本，由此可知 ① 式中 120 t 表示可变成本. 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设 R 表示年总收入，则 R年总收入 = t ·x ② 制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为 P 表示年利润，则 P利润 = R年总收入 - C成本. ∴ P利润 = R - C = t·x - c ③. 问题① 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降．假设某市场分析专家提供了下列数据： 销售单价 x/元 50 100 150 300 年销售量 t/件 5000 4000 3000 0 设生产 t 件该产品的成本为 C = 50t + 1000. (1)在右图中，描出上述表格中各组数据对应的点. 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · 销售单价 x/元 50 100 150 300 年销售量 t/件 5000 4000 3000 0 (2) 描出的点在一条直线上吗？求 t 和 x 间的函数关系式. 解：由右图可知：这些点在一条直线上，故可设函数关系式为 t = kx + b. 任意选取两点代入， 求得 k = -20，b = 6000. ∴ t = -20x + 6000. 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O · · · · (3) 销售单价 x 和年销售量 t 各为多少时，年利润 P 最大？ 解：∵ R年总收入 = t·x = (-20x + 6000)·x， ∴ P年利润 = R年总收入 - C成本 = (-20x + 6000)·x - 50(-20x + 6000) - 1000 = -20x² + 6000x + 1000x - 300000 - 1000 C成本 = 50t + 1000 = 50(-20x + 6000) + 1000， = -20x² + 7000x - 301000. 当 x = = 175 (元) 时，年利润 P 最大， 此时 t = -20x + 6000 = 2500 (件). 例 某商店试销一种新商品，新商品的进价为 30 元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同. 令每月销售量为 y 件，售价为 x 元/件，每月的总利润为 Q 元. （1）当售价在 40～50 元/件时，每月销售量都为 60 件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意知，当 40≤x≤50 时，Q = 60(x－30) = 60x－1800. ∵ 60＞0，Q 随 x 的增大而增大，∴ 当 x = 50 时，有 Q最大 = 1200. 答：此时每月的总利润最多是 1200 元. y/件 x/元 （2）当销售单价在 50～70 元时，每月销售量与单价的关系如图所示，则此时当该商品单价 x 是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？ 解：当 50≤x≤70 时，设 y 与 x 函数关系式为 y = kx + b. ∵ 图象过点 (50，60) 和 (70，20)， 50k + b = 60， 70k + b = 20. ∴ ∴ y =－2x