21.4 二次函数的应用（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值中的应用 优翼数学教学课件（HK）九上 复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1) y = x2 − 4x − 5；(配方法) (2) y = −x2 − 3x + 4.(公式法) 解：(1) 开口方向：向上； 对称轴：x = 2； 顶点坐标：(2，−9)； 最小值：−9. (2) 开口方向：向下； 对称轴：x = ； 顶点坐标：( ， )；最大值： . 导入新课 求二次函数的最大（或最小）值 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． 小球的运动时间是多少时达到最高？ 小球运动中的最大高度是多少？ t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h = 30t - 5t2 新课讲授 合作探究 问题1 二次函数 取最大值、最小值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围来决定. 问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是什么？ 当 a＞0 时，有 ，此时 ； 当 a＜0 时，有 ，此时 . 问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值则需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则应根据二次函数的增减性来确定其最值. 小球运动的时间是 3s 时达到最高，最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h = 30t − 5t2(0≤t≤6) 试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题： ∵ 0≤3≤6， 例1 求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 (1) ∴ 当 时， 当 x = 1 时， 典例精析 解： O x y 1 -3 (2) 而在对称轴的右侧， ∴ 当 x = -3 时，有 函数值 y 随着 x 的增大而减小， 当 x = 1 时，有 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值可以根据以下步骤来确定： ① 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴； ② 画出函数图象的草图，标明对称轴及 x 的取值范围； ③ 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系. 根据二次函数的性质，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值. 然后根据 x 的值，求出函数的最值. 二次函数与几何图形面积的最值 典例精析 例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用 l 表示另一边长？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 矩形面积 = 长×宽 另一边长为 (30 − l) m S = (30−l)l = −l2+30l 问题4 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解：根据题意得 S = l (30 - l) = -l2 + 30l (0＜l＜30)， 当 时， 有 S最大值 = 也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l/m S/m2 O 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60 - 2x 问题2 我们可以设面积为 S，如何设自变量？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 问题1 变式 1 与例 2 有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450. 设垂直于墙的一边长为 x 米 篱笆长不等于周长 (少了一边) 问题4 如何求自变量 x 的取值范围？墙长 32 m 对此题有什么作用？ 问题5 如何求面积 S 的最大值？ 最大值在其图象顶点处， 即当 x = 15 m 时，有 S最大值 = 450 m2