21.3 二次函数与一元二次方程（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 优翼数学教学课件（HK）九上 情境引入 问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系： h = 20t - 5t2. 考虑以下问题： 导入新课 (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 二次函数与一元二次方程的关系 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3. 你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？ 新课讲授 (2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？ O h/m t/s 20 2 解：令 20 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4 = 0， 解得 t1 = t2 = 2. 故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 故小球的飞行高度达不到 20.5 m. (3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗? 20.5 h = 20t - 5t2 (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. 故小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程? 一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程. 为一个常数 （确定值） 如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程. 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到． 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值． 利用二次函数深入探讨一元二次方程 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = x2 + x - 2； （2）y = x2 - 6x + 9； （3）y = x2 - x + 1. 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴交点个数 交点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2 - x + 1 y = x2 - 6x + 9 y = x2 + x - 2 0 个 1 个 2 个 x2 - x + 1 = 0,无解 3 x2-6x+9=0,x1=x2=3 -2，1 x2+x-2=0,x1=-2,x2=1 知识要点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象与 x 轴交点情况 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 b2 - 4ac 有两个交点(x1,0),(x2,0) 有两个不相等的实数根 x1,x2 b2 - 4ac＞0 b2 - 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2 - 4ac＜0 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 有一个交点 ( ,0) 有两个相等的实数根 x1=x2= 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； 证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 (m ≠ 0)， ∵