第三章 不等式（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第三章 不等式（知识归纳+题型突破） 1．掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)． 2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题． 3．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值． 4．能够利用基本不等式解决实际问题． 5．了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系． 6．会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况． 7．理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系． 8．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 9．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 10．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． 1．等式的性质 性质1　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质2　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质3　如果a＝b，那么ac＝bc；＝(c≠0)． 2．不等式的性质 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b，即a>b⇔b<a． 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c． 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c． 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc． 性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d． 性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．基本不等式 (1)如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时等号成立)． 我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． (2)当a，b∈R时，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)． 4．基本不等式与最大(小)值 对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值．(2)取等号的条件． 5．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： ①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可． (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．注意“1”的代换． 6．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 7．二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a>0时 ) 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异实根x1，2＝ 两相等实数x1＝x2＝－ 没有实根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x1＝x2＝－ 无零点 8．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式． 一元二次不等式与二次函数有什么关系？ 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合． 9．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 10．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 11．简单的分式不等式的解法 3．不等式恒成立问题 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． 题型一　用不等式的性质判断真假 【例1】给出下列命题： ①若ab>0