13.3.3含30°角的直角三角形的性质-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十三章 轴对称》 13.3 等腰三角形 13.3.3 含30°角的直角三角形的性质 知识点 含30°角的直角三角形 ◆1、含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． ◆2、此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 【注意】 ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型一 含30°角的直角三角形的性质求线段长 【例题1】如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（2023•香洲区校级一模）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°， AB＝8，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【变式1-2】（2023春•定边县校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，CD＝AD＝4，则BC的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-3】（2022春•三水区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC的长为 　 　cm． 【变式1-5】如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝3，则AB的长为（　　） A．16 B．12 C．9 D．10 【变式1-6】（2023春•白银期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝12cm，则AC的长是（　　） A．12cm B．6cm C．4cm D． 【变式1-7】如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（　　） A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m 【变式1-8】（2022春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ． 【变式1-9】如图，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于D．交AC于E， DE＝2．求BD的长． 【变式1-10】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长． 【变式1-11】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm． （1）求∠DFG的度数． （2）求BC的长度． 题型二 含30°角的直角三角形的性质证明 【例题2】（2023春•凤翔县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE． 【变式2-1】在直角三角形中∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB，求证：AB＝2BC． 【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E．求证：CEAC． 【变式2-3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：BDAB． 【变式2-4】已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证：GDEG． 【变式2-5】如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC． 求证：CE＝3AE． 【变式2-6】（2022春•大田县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，连接CD． （1）求证：△BCD是等边三角形； （2）若AE＝2，求CE的长． 【变式2-7】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由． 题型三 含30°角的直角三角