13.3.2等边三角形-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十三章 轴对称》 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 知识点一 等边三角形的概念及性质 ◆1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ◆2、性质： （1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ◆3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) 知识点二 等边三角形的判定 ◆1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ◆2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 题型一 利用等边三角形的性质求角度 【例题1】（2022•泌阳县四模）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数 为（　　） A．105° B．120° C．75° D．45° 解题技巧提炼 等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 【变式1-1】（2023•深圳三模）如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接BD交AC于点G，∠ABG度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式1-2】（2022春•保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（　　） A．60° B．75° C．105° D．115° 【变式1-3】（2023春•保定期末）如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 【变式1-4】（2022春•雁塔区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【变式1-5】（2022春•兰州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP． 【变式1-6】（2023春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足，△DEF是等边三角形． （1）求∠A的度数； （2）求证：EF∥BC． 题型二 利用等边三角形的性质求线段长 【例题2】如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长 为（　　） A．1 B． C．2 D．3 解题技巧提炼 1、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． 2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【变式2-1】（2023春•铁西区期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，点E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-2】（2023春•锦江区期末）如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 　　 ． 【变式2-4】如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2-5】（2022•易县三模）如图，点D在