12.3(2) 角平分线的判定-2023-2024学年八年级数学上册教学课件（人教版）

人教版初中数学八年级(上) 第12章 全等三角形 12.3(2) 角平分线的性质 角平分线的判定 探究新知 情境导入 要点归纳 典例精讲 查漏补缺 课堂小结 提升能力 情境导入 温故知新 角平分线的判定 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 ∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB. ∴PD=PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 推导格式： 2.我们知道,角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 角平分线的判定 01 三角形的内角平分线 02 知识要点 精讲精练 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵OC平分∠AOB,且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE 猜想: 思考：这个结论正确吗? 【问题】交换角的平分线的性质中的已知和结论,你能得到什么结论,这个新结论正确吗? 推导格式： 要点归纳 知识点一 角平分线的判定 已知：如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：作射线OP， ∴点P在∠AOB角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP PD=PE B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90º， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）. ∴∠AOP=∠BOP 探究新知 知识点一 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 要点归纳 知识点一 角平分线的判定 角平分线的判定定理： 推导格式： D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm,D即为所求. O 典型例题 知识点一 角平分线的判定 【例1】如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)? 【方法点拨】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等,一般需作这两边直线形成的角的平分线,再在这条角平分线上根据要求取点. 角平分线的判定 01 三角形的内角平分线 02 知识要点 精讲精练 【活动1】分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么? 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 探究新知 知识点二 三角形的内角平分线 【活动2】分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量,每组垂线段,你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 探究新知 知识点二 三角形的内角平分线 已知：如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. D E F A B C P N M 探究新知 知识点二 三角形的内角平分线 【想一想】点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系? 点P在∠A的平分线上. 结论:三角形的三条角平分线交于一点,且这点到三边的距离相等 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 知识与方法 要点归纳 知识点二 三角形的内角平分线 M E N A B C P O D 温馨提示:不存在垂线段---构造应用 典型例题 知识点二 三角形的内角平分线 【例2】如图,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC；AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32,求△ABC的面积. 解:(1)12 (2)连接OC, S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB =0.5AB·OE+0.5BC·ON+0.5AB·OM =0.5OM(AB+BC+OM) =0.5×4×32 =64 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥O