2.4线段、角的轴对称性（第4课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第2章 · 轴对称图形 2.4　线段、角的轴对称性 第4课时　垂直平分线与角平分线的综合应用 学习目标 1. 探索并证明角平分线的性质定理和判定定理； 2.了解角平分线是具有特殊性质的点的集合. 知识回顾 角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB 知识回顾 在△ABC中，用直尺和圆规分别作角平分线AD、BE，AD、BE相交于点P，再作∠C的平分线，你发现了什么？你能说明理由吗？ A B C A B C A B C D E D E D E 例题讲解 例1 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P. 求证：点P在∠C的平分线上. P A B D E F N M C AD是∠BAC的平分线 PF=PN BE是∠ABC的平分线 PF=PM PM=PN 点P在∠C的平分线上 例题讲解 例1 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P. 求证：点P在∠C的平分线上. P A B D E F N M C 证明：分别过点P作PF⊥AB于点F，PM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N. ∵AD平分∠BAC，点P在AD上， ∴PF=PN（角平分线上的点到角的两边的距离相等）. 同理PF=PM. ∴ PM=PN， ∴点P在∠C的平分线上 （角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上）. 新知归纳 三角形的三条角平分线__________，并且这点到三边的距离______. 即PD=____=_____. 交于一点 相等 PE PF 三角形的角平分线： 新知巩固 1. 在一张纸上画△ABC及其两个外角（如图）. （1）用折纸的方法分别折出∠BAD和∠ABE的平分线，设两条折痕的交点为O； C A B O E D 新知巩固 1. 在一张纸上画△ABC及其两个外角（如图）. （2）用直尺和圆规作∠ACB的平分线CF. 点O在射线CF上吗？证明你的结论. C A B O E D G M H 解：点O在射线CF上. 证明：过点O分别作OG⊥BE于点G，OH⊥AD于点H，OM⊥BC于点M. ∵点O在∠BAD的平分线上， 　　　　OM⊥AB， OH⊥AD. ∴OM＝OH. 同理OM=OG. ∴OG＝OH. ∴点O在∠ACB的平分线上.　　　 F 2.如图，直线AB、CD相交于点O，点M在OD上，在∠AOD的内部有一点N，现要在∠AOD的内部找一个点P，使点P到AB、CD的距离相等，且使PM=PN，用尺规作出点P的位置. (不写作法，保留作图痕迹) A D O 新知巩固 N M C D P 例题讲解 例2 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． A F E C B D 1 2 3 4 要证AD垂直平分EF 只要证DE=DF，AE=AF 已知∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC 只要证∠3=∠4 怎么想 怎么写 例题讲解 例2 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． A F E C B D 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1=∠2， ∴∠3=∠4. ∴DE=DF，AE=AF （角平分线上的点到角的两边的距离相等）. ∴点D、A在EF的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. ∴AD垂直平分EF. 1 2 3 4 新知巩固 1.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， E、F为垂足，下列结论中：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF ；④EF垂直平分AD中，正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C A F E C B D 新知巩固 2.如图，在△ABC中，AB=AC， D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. (2)求证：DE=DF (1)根据条件你能得到哪些正确结论？ 2 1 A F E C B D (2)证明：∵ D为BC的中点， ∴BD=CD. 在△ABD与△ACD中 ∴△ABD≌△ACD， ∴∠1=∠2， ∴AD是∠BAC的平分线. 又∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF . 课堂小结 角平分线 三角形内角平分线的性质 判定定理 应用： 位置的选择问题 当堂检测 1.三角形中，到三边距离相等的点是(　　) A.三条高