3.2 函数的基本性质 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质 复习旧知 函数单调性的概念： 般地，函数fx)的定义域为： 1.如果对于属于定义域内某个区间D的任意两个 自变量的值x,2,当x<x时，都有f(x)<f(x） 称函数f代x)在区间D上单调递增 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时 ,我们就称 它是增函数 2.如果对于属于定义域内某个区间D的任意两个 自变量的值x,x2,当x<x,时，都有 称函数代x)在区间D上单调递减。 特别的，当函数X)在它的定义域上单调递减时 我们就称它是减函数 函数的单调性是函数的“局部性质”，它与区间密切相关 复习旧知 1.偶函数定义 一般地，设函数fx)的定义域为I,如果∈I, 都有一x∈I且f(一x)于x),那么函数fx)就叫做偶函数 2.奇函数定义 一般地，设函数fx)的定义域为I,如果∈I,都 有一x∈I且f(一x=fc),那么函数fx)就叫做奇函数. 3.奇偶函数的图象特征 一个函数为奇函数U 它的图象关于原点对 称 U 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对 3 回顾练习 1.已知偶函数f(x)在[0，+￥)上是增函数，若f(a)>f(b),则必有(C A、a>bB、a<bCa>blD、a>bl 2若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1， 则它在-7，-3]上是（B) A、增函数且最小值是-1B、增函数且最大值是-1 C、减函数且最大值是-1D、增函数且最小值是-1 主要思路：结合图象 4 典型例题 例1如果f(x)=(k-3)x2+(k-2)x+3是偶函数， 则函数的增区间（一∞，0] 解：因为f)是偶函数，所以-2 所以fx)=x2+3 所以增区间为（二°，0] 5 典型例题 例2.(1)函数f(x)=ax5+bx3+cx, 若f(-3)=5,则f(3)= -5 (2)函数f(x)=ax3+bx3+cx+1, 若f(-3)=5,则f(3)=3 解：(1)因为fx)是奇函数，所以f3)=f-3)=-5 解：(2)设gx)ar+br3+cxgr)是奇函数 fx)=gx)+1,因为f(-3)=5,所以g(一3)=4 所以g(3)=-4,所以f3)=-3 6 1 U 典型例题 例3.已知定义在(0，+∞)上的函数代x),满足 当xye(0,+o)时，恒有fxy)=fx)+fy), 且当x>1时，fx)>0,求证：fx)是增函数 证明：水，x2∈(0，+，且x<x2 那么fx2)fe)=f(2)>0 所以fx)是增函数 U 典型例题 例4.已知函数代x)是定义在实数集R上的不 恒为零的偶函数，且对任意实数x有 xf代x+2)=(x+2)fx),则f5)的值为 (A)0 B.1 C.2 D.5 解：当x=3时，由xfx+2)=c+2)fx)得3⑤)=5f3), 5 即f5)=3f3),同理，可得f3)=31),所以5)=5 当x=-1时，由xfc+2)=c+2)fx)得-f(I)=f(-1) 因为fx)是偶函数，所以f1)=f(一1)，所以f1)=0 所以f(⑤)=0 8 U 学习新知 已知函数y=fX)在R上是奇函数，且在(0，+o)是 单调递增.那ㄙy=f(X)在它的对称区间(-∞，0) 上单调性如何？ 奇函数的图象关于坐标原点对称，所以在两个对称的区 间上单调性相同.即y=f孔x)在它的对称区间(-∞，0)上单 调递增 证明：：VX1,X2∈(-∞，0)，且X1<X2,则- X1>-X2>0, .y=f(X)在(0，+oo)上是单调递增，. f-x1)>f-X2). .y=fX)在R上是奇函数， ∴.f-X1)=-fX1),f-X2)=-fx2), 9 "-fX1)>-fX2).·,fX1)<fX) 学习新知 已知函数y=f(X)在R上是偶函数，且在(0，+o)是 单调递增.那ㄙy=f(X)在它的对称区间(-o,0) 上单调性如何？ 偶函数的图象关于y轴成轴对称，所以在两个对称的区 间上单调性相反.即y=x)在它的对称区间(-，0)上单 调递减 证明：：VX1,X2∈(-∞，0)，且X1<X2,则- X1>-X2>0, .y=f(X)在(0，+oo)上是单调递增，. f-x1)>f-X2). .y=fX)在R上是偶函数 ∴.f-X1)=fx1),f-X2)=fx2),∴.fx1)>fX2), 函数V=fX)在(O,+oo)上是单调涕减 10