广东省揭阳市普宁国贤学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

数学试卷 一、单选题 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数,则复数的共轭复数( ) A. B. C. D. 3.已知,A为第四象限角,则等于( ) A. B. C. D. 4.草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素,能够调节免疫功能,增强机体免疫力.草莓味甘、性凉,有润肺生津,健脾养胃等功效,受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量,可将其从小到大依次分为4个等级,其等级x与其对应等级的市场销售单价y(单位:元/千克)近似满足函数关系式,若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍,且1级草莓的市场销售单价为20元/千克,则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据:,)( ) A.30.24元/千克 B.31.75元/千克 C.38.16元/千克 D.42.64元/千克 5.平面向量与的夹角为,,,则等于( ) A. B. C. D. 6.已知的展开式中的系数为,则实数( ) A.2 B. C.1 D. 7.已知,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线为坐标原点,为双曲线的两个焦点,点为双曲线上一点,若,则双曲线的方程可以为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.下列说法中,正确的命题有( ) A.已知随机变量服从正态分布N(2,),,则 B.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,求得线性回归方程为,则的值分别是和 C.若事件A与事件B互斥,则事件A与事件B独立 D.若样本数据的方差为2,则数据的方差为16 10.已知数列的首项为4,且满足,则( ) A.为等差数列 B.为递增数列 C.的前n项和 D.的前n项和 11.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.是以为周期的函数 B.直线是曲线的对称轴 C.函数的最大值为,最小值为 D.若函数在区间上恰有2023个零点,则 12.如图,在棱长为2的正方体中,点,分别在线段和上.给出下列四个结论:其中所有正确结论的序号是( ) A.的最小值为2 B.四面体的体积为 C.有且仅有一条直线与垂直 D.存在点,使为等边三角形 三、填空题 13.函数,则 . 14.已知.则 . 15.已知函数,,若函数存在零点2023,则函数一定存在零点,且 .(只写一个即可) 16.一个球被平面截下的部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,球缺的曲面部分叫做球冠,垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为,其中为球的半径,为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”(如图1)深受广大市民的喜爱,它寓意着创造非凡、探索未来,体现了追求卓越、引领时代,以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体(如图2),已知该圆台的底面半径分别和,高为,球缺所在球的半径为,则该组合体的体积为 . 四、解答题 17.已知等差数列是递增数列,记为数列的前n项和,,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式; (2)若,数列的前n项和为,求证. 18.已知锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,且,且满足.(1)求角A的大小; (2)求周长的取值范围. 19.如图所示,在三棱锥中,已知平面,平面平面. (1)证明:平面; (2)若,,在线段上(不含端点),是否存在点,使得二面角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由. 20.某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男、女同学各100名进行调查,部分数据如表所示: 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表,依据的独立性检验,能否认为该校学生喜欢足球与性别有关? (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为,这名女生进球的概率为,每人射门一次,假设各人射门相互独立,求3人进球总次数的分布列和数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21.已知椭圆的离心率为,点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点的直线与椭圆交于两点,求的最大值. 22.已知函数. (1)当时,证明:; (2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 $$ 数学答案： 1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B 9．AB 10．BCD 11．ACD 12．ABD 13．2 14． 15． 16．． 17．解（1）设等差数列的公差为，且， ，，成等比数列，，， ，且，，； （2）证明：， ．