四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期第5次周考（理科）数学试题

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届第五次周考 数学试题(理科) 一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.若复数是纯虚数,则实数( ) A. B. C. D. 3.已知数列为递减的等比数列,,且,,则的公比为( ) A. B. C. D. 4.已知,则( ) A. B. C. D. 5.正六边形中,用和表示,则( ) A. B. C. D. 6.某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：,且,,( ) A. B. C. D. 7.设抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上位于第一象限内的一点,过作的垂线,垂足为,若直线的倾斜角为,则( ) A. B. C. D. 8.已知,且,则的最小值是( ) A. B. C. D. 9.若直线与函数和的图象都相切,则( ) A. B. C. D. 10.函数,的部分图象如图中实线所示,图中圆与的图象交于两点,且在轴上,则下说法正确的是( ) A.函数的最小正周期是 B.函数在上单调递减 C.函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D.若圆的半径为,则函数的解析式为 11.已知长方体中,,为的中点,为的中点,过的平面与,都平行,则平面截长方体所得截面的面积为( ) A. B. C. D. 12. 南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”,这是数学史上的一个伟大的成就,如图所示,在“杨辉三角”中,前n行的数字总和记作.设,将数列中的整数项依次组成新的数列,设数列的前n项和记作,则的值为( ) A. 6067 B. 5052 C. 3048 D. 1518 二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分. 13.展开式中的常数项为 . 14.半正多面体亦称“阿基米德体”,是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它的各棱长都相等,其中八个面为正三角形,六个面为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体. 则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 . 15.定义在上的函数,满足为偶函数,为奇函数,若,则 . 16.过双曲线上的任意一点,作双曲线渐近线的平行线,分别交渐近线于点,若,则双曲线离心率的最大值是 . 三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平,某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试,得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分为. (1)求; (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格,从这10名学生中任取3名,记体质测试成绩不合格的人数为,求的分布列; 18.设的内角所对的边分别为,且有. (1)求角; (2)若边上的高,求. 19.如图,在边长为的正三角形中,分别为边的中点,将沿翻折至,得到四棱锥,为的中点. (1)证明:平面; (2)若平面平面,求直线与平面所成的角的正弦值. 20.已知平面内动点到定点的距离和到定直线的距离的比为定值. (1)求动点的轨迹方程; (2)设动点的轨迹为曲线,过点的直线交曲线于不同的两点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为,判断是否存在常数,使得四边形的对角线交于一定点?若存在,求出常数的值和该定点坐标;若不存在,说明理由. 21.设函数. (1)求在区间,上的极值点个数; (2)若