第一章 特殊的平行四边形-习题1.8（习题课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（北师大版）

九（上）数学教材习题 习题 1.8 北 师 版 证明：对角线相等的菱形是正方形． 1. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC.∵AB=BA,BD=AC, ∴△ABD≌△BAC（SSS）. ∴∠DAB=∠CBA. 知识技能 ∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠CBA=180°. ∴∠DAB=∠CBA=90°. ∴四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 知识技能 已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形． 2. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CB,AD∥CB. ∴∠ADF=∠CBE. 又∵BE=DF, ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AF=CE,∠AFD=∠CEB. ∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE. 知识技能 ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE. 又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）. ∴AF=AE. ∴四边形AECF是菱形（一组邻边 相等的平行四边形是菱形）. 知识技能 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 3. 解：四边形EFGH是正方形. 理由如下：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CG=DH, 知识技能 ∴BE=CF=DG=AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS). ∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵∠AEH+∠AHE=90°， ∴∠DHG+∠AHE=90°. ∴∠EHG=90°. ∴四边形EFGH是正方形. 知识技能 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′-C′O与正 方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论． 4. 解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 .证明如下： 联系拓广 ①重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的 ,即S重叠=S△AOB=S△BOC= S△COD=S△AOD= S正方形ABCD. ②重叠部分为四边形时,设OA′与AB相交于 点E,OC′与BC相交于点F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°,∠AOB=90°. E F 联系拓广 又∵∠A'OC'=90°,∴∠AOE=∠BOF. ∴△AOE≌△BOF(AAS). ∴S△AOE=S△BOF. ∴S重叠=S△BOE+S△BOF=S△BOE+S△AOE= S△AOB= S正方形ABCD. 综上，重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 . E F 联系拓广 $$