4.6 利用相似三角形测高（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（北师大版）

第四章 图形的相似 4.6 利用相似三角形测高 优翼数学教学课件（BS）九上 世界上最高的树 —— 红杉 导入新课 乐山大佛 台北101大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度？ C 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 新课讲授 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ . ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为 134 m. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求 AB 长的等式是 ( ) A． B． C． D． A B C D E F C 练一练 A C B 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米． 8 例2 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24 m 处立了一根高为 2 m的标杆 EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距 27 m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高 1.6 m，求树的高度. 解析：人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点 A 作 AN∥BD 交 A E C D F B N CD 于 N，交 EF 于 M，则可得 AEM∽△ACN. M 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交 EF 于 M， ∵人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°. ∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA. ∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN . ∴ . ∵AB = 1.6 m，EF = 2 m，BD = 27 m，FD = 24 m， ∴ . ∴CN = 3.6 m.∴CD = 3.6 + 1.6 = 5.2(m). 故树的高度为 5.2 m. A E C D F B N M 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 例3 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具(镜子、皮尺)设计了如下图所示的测量方案： ①在距离树 AB 底部 15 m 的 E 处放下镜子； ②该同学站在距离镜子 1.2 m 的 C 处，目高 CD 为 1.5 m； ③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ D B A C E 2 1 解：∵∠1 =∠2，∠DCE =∠BAE = 90°， ∴△DCE ∽△BAE. ∴ . 解得 BA = 18.75 (m). 因此，树高约为 18.75 m. 测高方法三： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 试一试：如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 B A B P D C 利用三角形相似测高的模型： 归纳总结 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学