4.5 相似三角形判定定理的证明（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（北师大版）

第四章 图形的相似 *4.5 相似三角形判定定理的证明 优翼数学教学课件（BS）九上 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似. 导入新课 证明相似三角形的判定定理 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明． 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A =∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 新课讲授 ∠1=∠B，∠2 =∠C， 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 ∴ ∴ ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行 四边形． A′ B′ C′ A B C 证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 E D F 1 2 ∴ DE = CF . ∴ ∴ 而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2 =∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C'. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A，A′D = AB， ∴ △A′DE ≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D = AB， ∴ 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B ∴ C′ B′ A′ 证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE = B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD = A′B′， ∴ ， . 解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C， ∴ △ABD ∽ △ACB. ∴ AB : AC = AD : AB. ∴ AB² = AD · AC. ∵ AD = 2， AC = 8， ∴ AB = 4. 相似三角形判定定理的运用 例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB. C D A B 例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ∴ ② 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : = AB : ，解得 AB = ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时， 这两个直角三角形相似． ① 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 = AB : ，解得 AB = 3； C A B D 2 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8：