1.3 正方形的性质与判定（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 第一章 特殊的平行四边形 优翼数学教学课件（BS）九上 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 导入新课 矩 形 || || 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 新课讲授 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 (1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 证一证 (2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 对称性： ， 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形 分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等 腰直角三角形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC = BD，AC⊥BD，AO = BO = CO = DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 典例精析 A D C B O 例2 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ①∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC，∠BCE = 90°， ∴∠DCF = 180° -∠BCE = 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵ CE = CF， A B D C F E ∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF. A B D F E ② 延长 BE 交 DE 于点 M. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°，即 BE⊥DF. 综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF. C M 例3 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°. 【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一