专题09二次函数 y=a（x-h)2+k(a≠0)的图像和性质（4个知识点6种题型2个易错点2种考法）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

专题09二次函数的图像和性质（4个知识点6种题型2个易错点2种考法） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：二次函数的图象和性质（重难点） 知识点2：二次函数的图象和性质（重难点） 知识点3：二次函数的图象和性质（重难点） 知识点4：二次函数的平移 【方法二】 实例探索法 题型1：直接利用获取图象信息 题型2：已知顶点坐标求抛物线的解析式 题型3：抛物线平移规律的应用 题型4：抛物线增减性的应用 题型5：利用二次函数的图象和性质解决实际问题 题型6：二次函数中的新定义问题 【方法三】 差异对比法 易错点1：利用二次函数的顶点式确定抛物线的顶点、对称轴时，易弄错符号 易错点2：平移函数图像时，易出现平移方向错误 【方法四】 仿真实战法 考法1：抛物线的平移 考法2：二次函数的图象及特征 【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：二次函数的图象和性质（重点） 【例1】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案与解析】 （1）列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … 描点、连线，可得抛物线． 将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）． 抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次 是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题． 规律总结：． 知识点2：二次函数的图象和性质（重难点） 【例2】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 知识点3：二次函数的图象和性质（重难点） 【例3】已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得 到的抛物线． (1)求出a、h、k的值； (2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减 小，并求出函数的最值； (4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 【答案与解析】(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，，． (2)函数与的图象如图所示． (3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2． (4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比 得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题． 知识点4：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 【例4】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大. 【方法二】实例探索法 题型1：直接利用获取图象信息 1．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：由可知