第十八章 平行四边形 单元练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 知识梳理 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 (1)平行四边形的性质： ①平行四边形的对边平行且相等； ②平行四边形的对角相等； ③平行四边形的对角线互相平分。 (2)平行四边形的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 (1)矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。 ②推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (2)矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形。 4、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 (1)菱形的性质： ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。 (2)菱形的判定： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四条边相等的四边形是菱形。 （3）菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 5、正方形： 正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 提升练习 一、选择题 1．如图，在中，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF，添加选项中的条件后不能判定四边形BFDE是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为(　　) A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4．如图，是平行四边形对角线的交点，过的直线分别交于点，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D．四边形和的面积相等 5．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6，则AB的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 6．在中，点D是边的中点，连结并延长到E，使，连结，．则下列说法不正确的是（　　） A．四边形是平行四边形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 7．如图，两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的周长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 8．如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．1 二、填空题 9．如图，在中，，的平分线交于E，则的长为　 　． 10．如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件　 　，使矩形是正方形（填一个即可） 11．如图，在菱形中，对角线，，则这个菱形的周长为　 　． 12．如图，在矩形中，，，为的中点，若为边上的动点且，则的最小值为　 　． 13．如图，在正方形内作等边，连接，则的度数为 　 　． 三、解答题 14．在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E、F．求证：AE=CF. 15．如图，在平行四边形中，延长至点F，延长至点E，且．求证：平行四边形是矩形． 16．如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，点为垂足，连接，．求证：四边形是菱形． 17．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的周长． 18．如图，在正方形中，点G在对角线上，不与点B，D重合，连接并延长交于点E，连接并延长交于点M，过点D作交于点P，交于N，垂足为F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长．（用含a的式子表示） 参考答案 1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．A 9．2 10． 11．40 12． 13． 14．证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠AED=∠CFB=90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF(AAS)； ∴AE=CF 15．证明：∵， ∴，即． 在中， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是矩形． 16．证明：根据题意可知． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又， ∴