2.5第3课时 含30°的直角三角形与斜边上的中线性质（七大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》 2.5 等腰三角形的轴对称性 第3课时 含30°的直角三角形与斜边上的中线性质 知识点一 直角三角形斜边上的中线 ◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ◆2、几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ◆3、直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形. 知识点二 含30度角的直角三角形 ◆1、含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． ◆2、此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 【注意】 ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型一 利用直角三角形斜边上的中线求线段长 【例题1】（2022春•镇江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为　 　． 【变式1-1】（2023春•青原区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝（　　） ​ A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 ． 【变式1-3】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式1-4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 【变式1-5】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-6】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10，则△EFM的周长是 ． 题型二 利用直角三角形斜边上的中线求角度 【例题2】（2023春•中山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中点，则∠CBD＝　 　°． 【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝　 　°． 【变式2-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE，则∠ACD＝（　　） A．15° B．30° C．22.5° D．45° 【变式2-3】（2021秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝　 　度． 【变式2-4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是　 度． 【变式2-5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝　 　°． 【变式2-6】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　） A．5° B．10° C．20° D．30° 【变式2-7】（2022秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数． 题型三 利用直角三角形斜边上的中线性质证明 【例题3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD＝MB； （2）MN⊥BD． 【变式3-1】（2022秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：∠AEC＝∠C； （2）求证：BD＝2AC； 【变式3-2】（2022春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为