第2章轴对称图形（将军饮马模型）讲义2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第2章 轴对称图形（将军饮马模型） 知识梳理 【知识点1】将军饮马模型（利用对称，根据“两点之间，线段最短”原理） （1）点A、B在直线m两侧：（直接连接两点即可） （2）点A、B在直线同侧：（需做对称点） A、 A’ 是关于直线m的对称点。 【典型例题】 题型一：作图题 【例题】如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 【变式训练】 1.已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　 　），B1（　 　），C1（　 　）； （2）直接写出△ABC的面积为　 　； （3）在x轴上画点P，使PA+PC最小． 2.如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为1． （1）画出△ABC关于直线l对称的△A’B’C’； （2）△ABC的面积是________； （3）在直线l上找一点P，使PA+PC最小，最小值＝________（要求在直线l上标出点P的位置）． 3.如图，P为内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点， （1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，已知，求的度数． 4.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A’B’C’； （2）△ABC的面积为______； （3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 题型二：求两个值的最小值 【例题】如图，Rt△ABC纸片的直角边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝6，平面内一点O到直线l的距离为9，Rt△ABC纸片沿直线l左右移动，则OA+OB的最小值为 　 　． 【变式训练】 1.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（       ） A． B．3 C．2 D．4 2.如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ） A．28 B．18 C．10 D．7 3.如图，铁路上、两站相距8km，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点． （1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小； （2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由． 题型三：求三个值的最小值（转化为两个值的将军饮马模型） 【例题】如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（       ） A．∠1＋∠2＝90° B．2∠2－∠1＝30° C．2∠1＋∠2＝180° D．∠1－∠2＝90° 【变式训练】 1．如图，，点是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点的动点，则周长的最小值是(     ) A．3 B． C． D．6 2.如图，∠AOB＝45°，OC为∠AOB内部一条射线，点D为射线OC上一点，OD＝，点E、F分别为射线OA、OB上的动点，则△DEF周长的最小值是（　　） A． B．2 C．2 D．4 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形； （2）求PD+PQ+QE的最小值． 4.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若点P为直线上一点，，求周长的最小值． 【过关检测】 1、 选择题 1.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC