21.3 一元二次方程的应用（知识题型精讲测）-2023-2024学年九年级数学上册同步精讲之知识总汇与题型归类（人教版）

21.3 一元二次方程的应用 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 3. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 4. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 解读：通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。 知识点1　 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ★★☆ 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 【知识剖析】 列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2　 列一元二次方程解应用题的常见类型 ★★☆ 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.常见模型问题 常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式： (1)增长率问题： a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量. “共”或“累计问题” 第一个月： 第二个月： 第三个月： b为三个量的总数（累计）； (2)降低率问题： a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量. (3)传染问题 a为传染源的数量，x为一个病人传染x个健康人，b是两轮传染之后一共挈带病毒的人数。 第三轮传染人数： 指数n就是传染的“轮数”； (4)握手问题 x为总人数，b为一共握手的总次数。 常见场景为：握手，签合同，打比赛（单循环）； (5)送礼问题 x为总人数，b为一共送礼的次数。 常见场景：送礼，送贺卡，打比赛（双循环）等； (6)枝干问题 x为一个树枝新长出枝干的数量，b为枝干总数； 常见场景：长枝干，打电话，转微信等； 方法1　 列一元二次方程解决平均增长率问题的方法 ★★★ （1）平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么： 增长第一次价格为：； 增长第二次在上一次价格的基础上再乘（1+x），即 最终价格，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可） “累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则： 第一个月为a，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计 （2）平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么： 增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格，得出等量关系； （3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则： 传染轮数 挈带病毒人数 传染人数 第一轮 第二轮 两轮结束后一共挈带病毒数 （4）握手问题： 当人数为x时，一共握手 次； 【送礼问题】与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为：=总次数； 【例题精析1】 （2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ． 【例题精析2】 （2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为 ． 【例题精析3】 （2023春·重庆北碚·八年级