21.2 解一元二次方程（知识题型精讲测）-2023-2024学年九年级数学上册同步精讲之知识总汇与题型归类（人教版）

21.2 解一元二次方程 1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力； 4.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念； 5.能熟练应用公式法解一元二次方程； 6.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法； 7.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用。 解读：1.理解配方法的应用原理； 2.区分代数式配方与方程配方； 3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想； 4.理解方程的根与系数之间的关系。 知识点1　 直接开平方法解一元二次方程 ★★☆ 直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 ． 知识点2　 配方法解一元二次方程 ★★☆ 配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识剖析】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【例题精析1】 用配方法解一元二次方程：，配方后得（    ） A． B． C． D． 【例题精析2】 （2023·山东青岛·统考二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【例题精析3】 （2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：． 【例题精析4】 （2023春·浙江·八年级专题练习）若a，b，c满足，则 ； 【例题精析5】 （2023·全国·九年级假期作业）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【对点精练1】 将方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 【对点精练2】 （2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．若，，则图中正方形的边长为 ．    【对点精练3】 若a＝x＋19，b＝x＋20，c＝x＋21，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝ ． 知识点3　 一元二次方程根的判别式 ★★☆ 在推导过程中，出现的代数式称为一元二次方程根的判别式； 1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式： 根的判别式△的正负性 一元二次方程根的情况 原方程有两个不等的实数根：， 原方程有两个相等的实数根 原方程没有实数根 2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围（不等式）： 一元二次方程根的情况 判别式的取值范围 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个实数根 有实数根 【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。 【例题精析6】 （2023·四川·九年级专题练习）已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【例题精析7】 （2023春·浙江温州·八年级苍南县灵溪镇第一中学校考阶段练习）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【对点精练4】 （2023春·北京通州·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实