3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的运用 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握椭圆的定义、标准方程及其几何性质。 2. 运用解析法（坐标法）研究椭圆的标准方程和几何性质，并能利用其解决相关问题。 3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 椭圆的概念及其标准方程 定义：我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 椭圆的标准方程：①焦点在：1 (0). ②焦点在：1 (0). 椭圆的简单几何性质 标准方程 1 1 性 质 范围 对称性 顶点 离心率 二、新课讲授 例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上. 由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知， 丨丨=2.8cm，丨丨=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）. 分析：实际问题→抽象出数学模型→数学模型的解→实际问题的解 解法一：建立如图所示的直角坐标系，设截口BAC所在椭圆的标准方程为1 (0). 由椭圆的定义可知，丨丨，所以=. 的坐标分别为( ), ( ), ，点坐标为( ). 解方程组 点在椭圆上，则点的坐标满足椭圆的方程，故 解得 所求椭圆的标准方程为 1. 思路顺畅，但运算量大 解法二：建立如图所示的直角坐标系，设截口BAC所在椭圆的标准方程为1 (0). 在Rt△ 中，== 由椭圆的性质可知， ，所以= 4.1 =3.4 所求椭圆的标准方程为 1. 例2 动点与定点的距离和它到直线： 的距离的比是上常数，求点的轨迹. 解：如图所示，设是点到直线： 的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合 由两点间距离公式和点到直线距离公式，可得 = ， 将上式两边平方，并化简，得 225，即1. 所以点的轨迹是长轴为10，短轴为6的椭圆. 三、巩固新知 例1 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线. 解：将圆的方程化为： 4，圆的方程化为： . 所以，圆的圆心为(-3,0),半径为2；圆的圆心为(3,0),半径为10. 设动圆圆心为，半径为 动圆与圆外切，同时与圆内切，可得 将两式相加，可得 将两式相加，可得 即动圆圆心为为，到定点 (-3,0)和定点(3,0)的距离之和是常数12. 所以，点轨迹是焦点为 (-3,0)，(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 即 所以=. 所以，动圆圆心的轨迹方程为1， 它是焦点为 (-3,0)和(3,0)，长轴长为12，短轴长为的椭圆. 例2 如图，已知直线和椭圆. 为何值时，直线与椭圆：有两个公共点； 有且只有一个公共点；没有公共点. 解：由方程组 消去，得 消去，得 ① 方程①的 由，得-此时方程①有两个不相等的实数根，直线直线与椭圆有两个不同的公共点. 由，得此时方程①有两个相等的实数根，直线直线与椭圆有且只有一个的公共点. 由，得此时方程①没有实数根，直线直线与椭圆没有公共点. 四、课堂小结 1、解决实际问题的一般方法 五、作业布置 课本P114：练习 第1、2题 2、加强训练运算能力，学会优化求解过程 $$