2.2基本不等式10题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式10题型分类 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1-1．【多选】（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 1-2．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1-3．【多选】（2023秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）下列命题中正确的是（    ） A．时，的最小值是2 B．存在实数，使得不等式成立 C．若，则 D．若，且，则 1-4．【多选】（2023春·河北沧州·高二统考期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．， D． （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 2-1．【多选】（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 2-2．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）设，是正实数，则下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 2-3．【多选】（2023春·河南商丘·高二统考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型3：利用基本不等式证明不等式 3-1．（2023·全国·高一假期作业）已知，，，求证：. 3-2．（2023秋·上海徐汇·高三南洋中学校考开学考试）已知实数均大于0，证明：. 3-3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）已知是正实数. (1)若，证明：； (2)证明：. 3-4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 3-5．（2023秋·贵州黔南·高三统考阶段练习）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 4-1．（2023秋·广东佛山·高一统考期中）若，则的最小值为 ； 4-2．（2023春·贵州毕节·高一统考期末）已知，则的最大值为 . 4-3．（2023春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考