专题复习01 抛物线与三角形综合问题（题型分类+解题策略）-2023-2024学年九年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

九年级数学上分层优化堂堂清 二十二章 二次函数 专题复习 抛物线与三角形综合问题 1、 三角形面积的最值 解题策略： 铅垂法 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 【例1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【例1-2】如图，抛物线与轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 针对训练1 1.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标； 2.在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ? （2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由 2、 直角三角形存在性问题 解题策略： 1、 构造直角三角形的一般思路: 构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆. 2、 动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例 1、 代数法 （1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示； （2）列出线段AB、AC、BC长度的平方； （3）分类列方程：①，②，③； 2、几何法 （用相似三角形，暂略） 当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究： 当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似（略）③勾股定理； 【例2-1】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【例2-2】在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，3），顶点为P． （1）求二次函数解析式及点P的坐标； （2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标． 针对训练2 1.在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，连接，则称为抛物线的伴生三角形，直线为抛物线的伴生直线． （1）如图1，求抛物线的伴生直线的解析式． （2）已知抛物线的伴生直线为，求k的值． （3）如图2，若抛物线的伴生直线是，且伴生三角形是直角三角形，求此抛物线的解析式． 2.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3、 等腰三角形存在性问题 解题策略： 1、 构造等腰三角形的一般思路 平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。 2、 动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例： 2、 代数法 （1） 分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC； （2） 画图； ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为 顶点的等腰三角形 ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为 顶点的等腰三角形 ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为 顶点的等腰三角形 （3） 列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程 注意：如果三角形的三个角都是